张丘建算经 : 数学著作。三卷。北魏张丘建(丘或作“邱”)撰。约成书于北魏天安元年——太和九年(466-485年)之间。
张丘建,生平事迹不详。自序最后题“清河张丘建谨序”,清河是张姓郡望,未必是作者的籍贯。南北朝时北魏人。
《张丘建算经》是一部数学问题集,传本分为上、中、下三卷。卷中结尾及卷下开头均已残缺,保存下来的共有92个数学问题及其解答,其内容、范围与《九章算术》相仿,在最大公约数与最小公倍数、等差数列、不定方程等方面则超过了《九章算术》的水平。
卷上第十题、第十一题涉及最小公倍数的概念与计算,其中第十题为:“今有封山周栈三百二十五里,甲、乙、丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里,乙日行一百二十里,丙日行九十里。问周行几何日会。”由于甲、乙、丙绕栈道一周所需的时间分别是
故三人相会所需的时间是这三个数的最小公倍数,根据书中的解答,一般地有如下结果:
设a,b,c,e都是正整数,若将a,b,c的最大公约数记为
又将e/a,e/b,e/c的最小公倍数记为
则书中相当于给出了最大公约数与最小公倍数之间的如下关系
《张丘建算经》中有大约十个题目是关于等差数列的各种问题及其解法的,有些是继承以往的成果,但更多地则是创新,根据书中的解答,张丘建实际上得到了下列结果:
设 a1,a2,…,an是一等差数列,公差为d,又记
这些结果说明,至迟到五世纪,在中国传统数学中已经具备了系统的等差数列理论,同类结果直到七世纪才在印度人的著作中出现。
《张丘建算经》最引人注目的内容是提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题,通常称为百鸡问题,卷下第三十八题:“今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何。”
若设鸡翁、母、雏的只数分别为x,y,z,依题意有
这是一个不定方程问题。书中给出的答案是:
并且指出:“鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”这实际上指出,在求得了方程组(5)的一组特解(x0,y0,z0)之后,其余的解可由下列关系得到:
其中t取适当的整数值,使所得结果符合题意。
不定方程虽在《九章算术》中已经出现,但当时并无明确的认识,刘徽注《九章》注意到了这类问题,却未作进一步的研究。因此,《张丘建算经》中的百鸡问题实开中国古代不定方程研究的先河,其影响一直持续到十九世纪。这一问题曾先后传入印度、阿拉伯及欧洲,出现在摩诃毗罗(九世纪)、婆什迦罗(1114—1185?)、阿尔·卡西(十五世纪)和斐波那契(十三世纪)等人的著作中。
《隋书·经籍志》载:“《张丘建算经》二卷”,《旧唐书·经籍志》、《新唐书·艺文志》均作一卷,又著录“李淳风注《张丘建算经》三卷”,因此,将其析为三卷始于李淳风,同时附有唐算学博士刘孝孙所撰细草,此本于唐初列于学官。
《张丘建算经》流传至今的最早版本是南宋嘉定六年(1213年)鲍澣之刻本,是据北宋元丰七年(1084年)秘书省本《算经十书》翻刻,至清初仅存一孤本,先后为太仓王杰、常熟毛晋所得,今存上海图书馆,现在常见的各种版本同出于这一刻本。因其在清初已经残缺,卷中缺少最后的几页,卷下缺少开头的两页,现存九十二个数学问题,而据南宋王应麟所辑《玉海》:“原释凡一百问”,故现传本比原作少了八个问题。清康熙元年(1662年)毛晋之子毛扆曾据此影抄一副本,今存故宫博物院,一九三二年影印收入《天禄琳琅丛书》。《四库全书》本、微波榭《算经十书》本均以毛氏影抄本为底本,《知不足斋丛书》本、商务印务馆《万有文库》本则据微波榭本翻刻。南宋原刻本于一九八○年由文物出版社影印出版。钱宝琮曾对传本《张邱建算经》详加校勘,一九六三年汇入他校点的《算经十书》,由中华书局出版。