缉古算经 : 原名《辑古算术》,唐显庆元年(656年)被列为国子监算学馆“十部算经”之一,因而改称《缉古算经》。以土木工程中数学计算为主要内容的数学书。一卷。唐王孝通撰。约成书于唐初。
王孝通的生平事迹已不可详考。据《旧唐书》、《新唐书》、《唐会要》记载,他在唐初为历算博士,后升任太史丞,精通天文历法。又据王孝通《上缉古算术表》,知其出身平民,少小学算,曾在隋为官。在数学方面,他研究过《九章算术》、祖冲之与祖暅的《缀术》等书,认为其中的体积算法颇多疏漏,因而“更作新术”,写成《缉古算术》一书,并极为自信地说:“请访能算之人考论得失,如有排其一字,臣欲谢以千金。”
全书共二十个数学问题。第一题是有关天文历法的计算问题。可用算术方法解答。第二～六题及第八题是关于土木工程中的土方体积问题,其中不仅要求根据工程的具体情况计算体积和各种尺寸,还要由已知某一部分工程的体积反求这部分的长、宽、高,从而需要列出并求解三次方程,这在中国古代被称为开带从立方。第七题及第九～十四题是已知仓库及地窖等的容量,根据题设尺寸间的大小关系反求各边线尺寸,也归结为三次方程求解。第十五～二十题是勾股问题,前四题用到三次方程,后两题是一类特殊的四次方程,可先用求解二次方程的方法得一正根,再开平方得到所求的解,即现在所说的“双二次方程”问题。
《缉古算经》中共有形如
的三次方程二十八个。在当时,由于没有通用的代数符号,也没有设立未知数列方程的一般方法,列出一个高次方程是十分困难的事情。王孝通在每一条有关高次方程的术文中,都借助几何关系说明了方程各项系数的计算过程,重要术文还详加注解,表现出高超的几何变换技巧。对于列出的每一个高次方程,王孝通都给出了一个满足原题目要求的根,但既没有叙述其演算程序,也没有数字计算的细草,大概是因为这种算法早有记载的缘故。王孝通之前的开带从立方法已无从详考,但它是由《九章算术》少广章“开立方术”推广而来则是无疑的。
《缉古算经》是世界上现存最早系统研究三次方程的著作,其对方程各项系数的计算,是宋元时期建立高次方程的“条段法”的滥觞。在中国,南北朝时祖冲之曾研究“开差幂、开差立”,即二次及三次方程问题,但其著作已经失传,无从详考。在其他国家,最早系统研究三次方程的是阿拉伯数学家奥马尔·海牙姆(Omar Khayyam,约1048年—约1123年),欧洲人则还要晚得多。因此,王孝通对三次方程的研究是世界数学史上的辉煌成就。
《缉古算经》中还给出了一个体积公式,用以计算具有一对平行面的任何六面体,这是几何计算中一个非常精彩的结果。书中正确而熟练地运用了相似勾股形对应边的比例及一些恒等变换,实际运用了许多乘法公式,书中所选题目的结构一般都很复杂,同时需要大量繁难的数字计算,而书中却极少错误,体现了作者的高度数学素养。
《缉古算经》是中国数学史上一部影响深远的著作,在唐代它被列于学官,国子监算学馆的学生需要以三年的时间学习它。在宋元时代的体积计算问题中不无其影响的痕迹。清中期研究和整理古代数学典籍成为一时风尚,对《缉古算经》的研究引人注目,在嘉庆年间先后有李锐,生于清乾隆三十三年(1768年),卒于嘉庆二十二年(1817年)所撰、以张敦仁,生于清乾隆十九年(1754年),卒于道光十四年(1834年),名义出版的《缉古算经细草》,清嘉庆八年(1803年)出版,陈杰《缉古算经细草》、《缉古算经图解》与《缉古算经音义》均于嘉庆二十年(1815年)出版,李潢,生年不详,卒于嘉庆十七年(1812年),所著《缉古算经考注》于道光十二年(1832年)始得出版。
《缉古算经》在宋代有北宋秘书省刻本和南宋鲍澣之刻本,其后渐次散佚,到明末仅章邱李开先存一南宋刻本,入清后曾为常熟毛扆和曲阜孔继涵所得,其后不知所终。毛扆又曾藏一影宋抄本。后传入四库馆,成为《四库全书》的底本,又转入清宫,今存故宫博物院。有影印的《天禄琳琅丛书》本。微波榭《算经十书》本也以影宋抄本为底本,其后各家刻本多据微波榭本。钱宝琮依各种传本详加校勘,收入他校点的《算经十书》,一九六三年由中华书局出版。
南宋本《缉古算经》传至清代,最后三页(第15—20题)已有烂脱的文字。其题目、答案和术文经各家校补已经恢复,但王孝通的自注因脱文过多,自清嘉庆以来直至近年陆续有校补的尝试,但终无令人满意的结果。