孙子算经 : 数学著作。今传本分为上、中、下三卷。作者及成书年代不详。根据书中的内容,现在一般认为成书于公元四、五世纪,并有经后人改窜和附加之处。
该书是中国古代一较普及的数学本子。与大多数传本数学书类似,《孙子算经》也采用问题集的方式,每题由问(问题)、答(答案)、术(解法及依据等)。不同的是,卷上不列具体问题,专以叙述预备知识,包括度量衡、大数、筹算记数等各种制度,乘除算法、乘法口诀,及一些简单而常用的算表。卷中收入二十八题,卷下三十六题,内容包括整数及分数四则运算、比例算法、开平方法、盈不足术、线性方程组、各种简单的面积、体积计算等,大多以实用问题的形式出现,还包括一些趣味问题。
在流传至今的古算书中,《孙子算经》是最早详细记载筹算制度的一部。书中以歌诀的形式生动地记叙了筹算记数的纵横相间制: “凡算之法,先识其位。一从(纵)十横,百立千僵,千十相望,万百相当。……六不积,五不只。”“用算筹表示从1至9这些基本数码,有纵横两种方式,即
记多位数时,纵横相间,遇零空位,个位、百位、万位等用纵式,十位、千位等用横式,数码1-5采用积划方式,满六以上分为上下两部分,下面一划仍为1,上面一划则为5,这种记数方法为后来的珠算所继承。根据书中的记载,乘除均分为上、中、下三行运算,乘法二乘数无乘与被乘之分,一上一下,乘积置于中行。除法做为乘法的逆运算,被除数置于中行,除数下行,商上行。乘除法均由高位向低位进行。类似于后来的珠算。上述内容,使《孙子算经》成为考证古代筹算制度及算法演变的珍贵资料。
《孙子算经》中的数学问题大多浅近易晓,其中一些趣味问题在后世广为流传。例如:
卷下第十七题:“今有妇人河上荡杯。津吏问曰:‘杯何以多?’妇人曰:‘家有客。’津吏曰:‘客几何?’妇人曰:‘二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五,不知客几何。’”
卷下第三十四题:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问各几何。”
卷下第三十一题是著名的“鸡兔同笼”问题:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉、兔各几何。”书中解法颇为奇妙:“上置头,下置足。半其足,以头除足,以足除头,即得。”相当于如下过程
其思路极为简捷自然,每只鸡(雉)有一双足,每只兔有两双足,给每个头先分配一双足,余下几双足就有几只兔,由头数去掉兔数,即为鸡的数量。
最使《孙子算经》著名的,是因为它最早记述了在世界数学史上享有崇高地位的孙子“剩余定理”。卷下第二十六题为:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何。”相当于求解一次同余式组
N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7)
满足条件的最小正整数N=23。由书中解法的构造性不难推广到更一般的如下“剩余定理”:
为求解同余式组
N≡ri(mod ai) i=1,2,…,n (1)
只需求出一组数Ki,它满足
于是(1)的通解为
这一定理在南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》(1247)得到明确而完整的叙述,欧洲的同类工作直到十八一十九世纪才出现。因此,当代国际数学界称此定理为“中国剩余定理”,实际上叫做“孙子定理”更合适些。
最早著录《孙子算经》的是《隋书·经籍志》,称:“《孙子算经》二卷”,《旧唐书·经籍志》: “《孙子算经》三卷,甄鸾撰注”。《新唐书·艺文志》:“李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷”,其书于唐初被列为国子监算学馆“十部算经”之一。但现传各种版本中均无甄、李注释。
《孙子算经》流传至今的最早版本当推南宋嘉定六年(1213年)鲍澣之刻本,是据北宋元丰七年(1084年)秘书省本《算经十书》翻刻,半叶九行十八字,写刻俱佳。至清初仅存一孤本,先后为太仓王杰、常熟毛晋、阳城张敦仁所得,今存上海图书馆,一九八○年由文物出版社影印出版。毛氏又曾影抄副本,今存故宫博物院,一九三一年据此影印,收入《天禄琳琅丛书》。
清乾隆间,戴震据南宋本及《永乐大典》本校勘《孙子算经》,收入《四库全书》,此后,武英殿聚珍版本、微波榭《算经十书》本、鲍廷博《知不足斋丛书》本等均以此为蓝本。
钱宝琮对《孙子算经》作过专门研究,详加校勘,收入他校点的《算经十书》,并写有提要,一九六三年由中华书局出版。