详解九章算法 : 《详解九章算法》,是一部数学著作,为南宋末年杨辉所撰。
杨辉,字谦光,钱塘(今浙江杭州》人,其生平事迹、生卒年月则无可详考,只能由一些有关著述推测其某些行踪。杨辉《日用算法》之陈几先序称:“钱塘杨辉以廉饬己,以儒饰吏,吐胸中之灵机,续前贤之奥旨。”依此可知,杨辉可能在南宋担任过某些地方官吏,又由《田亩比类乘除捷法》卷上五次引用台州(今浙江临海县)量田图来猜测,杨辉可能在台州工作过。再根据杨辉《续古摘奇算法》卷上称:“辉伏睹京城见用官斛号杭州百合,浙郡一体行用。”其卷下称:“辉因到姑苏,有人求三七差分,继答之。”可见杨辉足迹曾遍历苏、杭。
杨辉生平事迹虽然知道甚少,但其著作流传至今者却较多,共有五种二十一卷,即:
《详解九章算法》十二卷,宋理宗景定二年(1261年),
《日用算法》二卷,宋理宗景定三年(1262年),
《乘除通变本末》三卷,宋度宗咸淳十年(1274年),
《田亩比类乘除捷法》二卷,宋恭宗德祐元年(1275年),
《续古摘奇算法》二卷,宋恭宗德祐元年(1275年)。其前两种乃是杨辉早年著述,其后期所作三种一般称之为《杨辉算法》。
杨辉《详解九章算法》序称:“辉虽慕此书,未能贯理,妄以浅也。聊为编述,择八十题以为矜式,自余一百六十六问,无出前意,不敢废先贤之文,删留题次,习者可以闻一知十,……,凡题法解白不明者,别图而验之,编乘除诸术,以便入门,篡法问类次见之章末,总十有二卷”。可见现传本已面目全非,除保留有“篡类”外,而“篡类”虽附合杨辉原意,但其“图”及“乘除算法”今已不存,且次序也非原貌。从杨辉《详解九章算法》编排上看,首先,是解题,即是对《九章》原题作详细解释,有的则辅以评论和校勘;其次,即是细草,或叫图草,先列算法,后列算草,有图附图,有表附表,如杨辉说“以图参法,取用可知”;最后,即是比类,一方面列出与原算法相同的例题,一方面列出与原算法可比拟的例题。例如在商功章给予六道比拟的垛积题,即
等。虽然杨辉给出六道垛积题,但基本上都是沈括“隙积术”的特例。在杨辉其他算书中,也有垛积题即高阶等差级数求和的问题,如清代顾观光说:“堆垛之术详于杨氏(杨辉)、朱氏(朱世杰)二书,而创始之功,断推沈氏(沈括)。”
杨辉《详解九章算法篡类》序说:“向获善本,……,以魏景元元年刘徽等……注释,圣宋右班(殿)直贾宪撰草。”可知杨辉曾参考过刘徽及李淳风对《九章》的注文,也参考过贾宪的著作《黄帝九章算法细草》。贾宪是北宋天算家楚衍之弟子,活动于北宋乾兴、皇祐年间,著有《算法敩古集》二卷和《黄帝九章算法细草》九卷,此二书均已失传,幸喜杨辉在《详解九章算法》引录贾宪之说,才使贾宪学说得以流传。
杨辉在《篡类》中所引贾宪之说有:“贾宪立成释锁平方法”,“增乘开平方法”,“贾宪立成释锁立方法”,“增乘(开立)方法”。其中“释锁”可能是宋元数学家解数字方程的代名词,而“立成”,可能是根据某种数表进行计算的意思。“立成释锁平方法”和“立成释锁立方法”可能是依据某种数表解方程的方法。在杨辉《篡类》中,记载有贾宪“开方作法本源”图,一般称为“贾宪三角”。杨辉注说:“出《释锁》算书,贾宪用此术”。依此推断所谓“释锁开平方法”,“释锁开立方法”实际就是传统开方法,而“增乘开方法”,是引进新开平方、开立方法,也就是随乘随加的开方法;其解法理论、步骤与英国数学家霍纳(W.G.Horner)于一八一九年提出的解法完全一致。贾宪却比霍纳早七百多年,而秦九韶在《数书九章》中系统总结的增乘开方法,也比霍纳早五百余年。
至于“开方作法本源”图,是中国古代传统数学的一项重要组成部分,不但可以进行高次开方运算,在后世从而导出许多垛积问题。因此,应该称为“贾宪三角”。而伊斯兰国家数学家阿尔·卡西(Al—Kashi)在其《算术之钥》(1427年)曾记录这一三角;在西方,德国阿披亚纳斯(P.Apianus)于1527年也记录这一三角;法国数学家巴斯嘉(B.Pascal)于1653年才记载这一三角,而西方一般称之为“巴斯嘉三角”,这是一种误称,理应予以纠正。
杨辉《详解九章算法》现传本有大典本,宜稼堂丛书本,知不足斋丛书本,此外,北京图书馆藏有朝鲜复刻本等,但这些版本多数残缺不全。